题目内容
4．已知顶点在原点O，准线方程是y=-1的抛物线与过点M（0，1）的直线l交于A，B两点，若直线OA和直线OB的斜率之和为1（Ⅰ）求此抛物线的标准方程；
（Ⅱ）求直线l的方程．
分析 （Ⅰ）设抛物线的标准方程为x2=2py，由准线方程是y=-1，可得p=2，即可求此抛物线的标准方程；
（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+1，联立直线与抛物线的方程可得：x2-4kx-4=0，根据韦达定理可得直线l的方程．
解答 解：（Ⅰ）由题意可知抛物线焦点在y轴正半轴，设抛物线的标准方程为x2=2py，
由准线方程是y=-1，可得p=2，
所以抛物线的标准方程为x2=4y；（6分）
（Ⅱ）设直线l的方程为：y=kx+1，
代人抛物线的标准方程消y整理得x2-4kx-4=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则$\frac{y_1}{x_1}+\frac{y_2}{x_2}=1$①
因为y1=kx1+1，y2=kx2+1，代人①，得$2k+（\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}）=1$②
因为x1+x2=4k，x1x2=-4，代人②得k=1，
所以直线l的方程为：y=x+1．（14分）
点评 本题主要考查抛物线的方程与简单性质、直线的一般式方程、直线与抛物线的位置关系，以及方程思想，属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
19．在极坐标系中，直线ρcosθ=1与圆ρ=2cosθ的位置关系是（ ）
| A． | 相离 | B． | 相切 | C． | 相交但不过圆心 | D． | 相交且过圆心 |
19．把极坐标系下的点坐标（4，$\frac{π}{4}$）化为直角坐标系下的点坐标为（ ）
| A． | （2，2$\sqrt{2}$） | B． | （2$\sqrt{2}$，2） | C． | （2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$） | D． | （1，0） |
9．设等差数列{an}的前n项和为sn，则s4，s8-s4，s12-s8，s16-s12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{bn}前n项积为Tn，则T4，（ ），$\frac{{{T_{16}}}}{{{T_{12}}}}$成等比数列．
| A． | $\frac{T_6}{T_4}，\frac{{{T_{12}}}}{T_6}$ | B． | $\frac{T_8}{T_4}，\frac{{{T_{12}}}}{T_8}$ | ||
| C． | $\frac{{{T_{10}}}}{T_4}，\frac{{{T_{12}}}}{{{T_{10}}}}$ | D． | $\frac{{{T_{16}}}}{T_4}，\frac{{{T_{12}}}}{{{T_{16}}}}$ |