题目内容
12.函数f(x)=x3+ax2+bx+a2,在x=1时有极值10,(1)求a,b的值;
(2)求曲线y=f(x)的切线的斜率的最小值.
分析 (1)由求导公式和法则求出f′(x),根据条件列出方程组求出a、b的值,并根据极值的定义进行验证;
(2)由(1)求出的值代入f′(x),利用二次函数的性质求出切线的斜率的最小值.
解答 解:(1)由题意得,f′(x)=3x2+2ax+b,…(2分)
∵在x=1时有极值10,
∴$\left\{\begin{array}{l}{f′(1)=3+2a+b=0}\\{f(1)=1+a+b+{a}^{2}=10}\end{array}\right.$,解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-3}\\{b=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=4}\\{b=-11}\end{array}\right.$,
经验证当a=-3时,x=1不是极值点,
∴a=4,b=-11;…(8分)
(2)当a=4,b=-11时,$f'(x)=3{x^2}+8x-11=3{(x+\frac{4}{3})^2}-\frac{49}{3}$,…(11分)
∴$x=-\frac{4}{3}$时,切线的斜率最小值为$-\frac{49}{3}$…(12分)
点评 本题考查导数的几何意义,函数极值的条件的应用,以及二次函数的性质,属于中档题.
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