题目内容
【题目】已知抛物线(
)上的两个动点
和
,焦点为F.线段AB的中点为
,且A,B两点到抛物线的焦点F的距离之和为8.
(1)求抛物线的标准方程;
(2)若线段AB的垂直平分线与x轴交于点C,求面积的最大值.
【答案】(1);(2)
.
【解析】
(1)利用抛物线的定义可得,求出
的值,从而得到抛物线的方程;
(2)设直线AB的方程为:,与抛物线方程联立,利用韦达定理和弦长公式可得
,利用AB的中垂线方程可得点C的坐标,再利用点到直线距离公式求出点C到直线AB的距离d,所以
,令
,则
,利用导数可得最值.
(1)由题意知,则
,
∴,
∴抛物线的标准方程为;
(2)设直线(
)
由,得
,
∴,
∴,
即,
即,
∴,
设AB的中垂线方程为:,即
,
可得点C的坐标为,
∵直线,即
,
∴点C到直线AB的距离,
∴
令,则
,
令,
∴,
令,则
,在
上
;在
上
,
故在
单调递增,
单调递减,
∴当,即
时,
.

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