题目内容
【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知点
，直线
，过动点
作
于点
，
的平分线交
轴于点
，且
，记动点的轨迹为曲线
．
（1）求曲线的方程；
（2）过点
作两条直线，分别交曲线于
两点（异于
点）．当直线
的斜率之和为2时，直线
是否恒过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．
【答案】（1）
；（2）过定点，
【解析】
（1）设
，由题得
，即得
，即得解；
（2）当直线
的斜率存在时，设其方程为
，联立直线和椭圆方程得到韦达定理，根据
得到
，即得直线经过的定点；当直线的斜率不存在时，直线也经过定点.即得解.
解：（1）设，由已知
，
，
，
，
，
，即，
化简得
，
曲线
的方程为．
（2）当直线的斜率存在时，设其方程为，
且设
，
．
由
得
，
由已知
，
，
，
由已知，得
，
整理得
，
，整理得
．
，
，
直线的方程为
，
直线过定点．
当直线的斜率不存在时，设其方程为
，且设
，
，
其中
．
由已知，得
，
，
直线的方程为
，此时直线也过定点．
综上所述，直线恒过定点．
【题目】随着新高考改革的不断深入，高中学生生涯规划越来越受到社会的关注.一些高中已经开始尝试开设学生生涯规划选修课程，并取得了一定的成果.下表为某高中为了调查学生成绩与选修生涯规划课程的关系，随机抽取50名学生的统计数据.
成绩优秀 | 成绩不够优秀 | 总计 | |
选修生涯规划课 | 15 | 10 | 25 |
不选修生涯规划课 | 6 | 19 | 25 |
总计 | 21 | 29 | 50 |
（Ⅰ）根据列联表运用独立性检验的思想方法能否有
的把握认为“学生的成绩是否优秀与选修生涯规划课有关”，并说明理由；
（Ⅱ）如果从全校选修生涯规划课的学生中随机地抽取3名学生，求抽到成绩不够优秀的学生人数
的分布列和数学期望（将频率当作概率计算）.
参考附表：
| 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
参考公式
，其中
.
【题目】在全面抗击新冠肺炎疫情这一特殊时期，我市教育局提出“停课不停学”的口号，鼓励学生线上学习.某校数学教师为了调查高三学生数学成绩与线上学习时间之间的相关关系，对高三年级随机选取45名学生进行跟踪问卷，其中每周线上学习数学时间不少于5小时的有19人，余下的人中，在检测考试中数学平均成绩不足120分的占
，统计成绩后得到如下
列联表：
分数不少于120分 | 分数不足120分 | 合计 | |
线上学习时间不少于5小时 | 4 | 19 | |
线上学习时间不足5小时 | |||
合计 | 45 |
（1）请完成上面列联表；并判断是否有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”；
（2）在上述样本中从分数不少于120分的学生中，按照分层抽样的方法，抽到线上学习时间不少于5小时和线上学习时间不足5小时的学生共5名，若在这5名学生中随机抽取2人，求至少1人每周线上学习时间不足5小时的概率.
（下面的临界值表供参考）
| 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
（参考公式
其中
）
