题目内容
【题目】如图，
是正方形，点
在以
为直径的半圆弧上（不与
，
重合），
为线段的中点，现将正方形沿折起，使得平面
平面
.
（1）证明：
平面
.
（2）三棱锥
的体积最大时，求二面角
的余弦值.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
（1）利用面面垂直的性质定理证得
平面
，由此证得
，根据圆的几何性质证得
，由此证得
平面
.
（2）判断出三棱锥
的体积最大时
点的位置.建立空间直角坐标系，通过平面
和平面
的法向量，计算出二面角
的余弦值.
（1）证明：因为平面
平面
是正方形，
所以
平面.
因为
平面，所以.
因为点在以
为直径的半圆弧上，所以.
又
，所以平面.
（2）解：显然，当点位于
的中点时，
的面积最大，三棱锥的体积也最大.
不妨设
，记
中点为
，
以
为原点，分别以
的方向为
轴、
轴、
轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系
，
则
，
设平面
的法向量为
，
则
令
，得
.
设平面
的法向量为
，
则
令
，得
，
所以
.
由图可知，二面角为锐角，故二面角的余弦值为.
【题目】自从新型冠状病毒爆发以来，全国范围内采取了积极的措施进行防控，并及时通报各项数据以便公众了解情况，做好防护.以下是湖南省2020年1月23日-31日这9天的新增确诊人数.
日期 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 |
时间 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
新增确诊人数 | 15 | 19 | 26 | 31 | 43 | 78 | 56 | 55 | 57 |
经过医学研究，发现新型冠状病毒极易传染，一个病毒的携带者在病情发作之前通常有长达14天的潜伏期，这个期间如果不采取防护措施，则感染者与一位健康者接触时间超过15秒，就有可能传染病毒.
（1）将1月23日作为第1天，连续9天的时间作为变量x，每天新增确诊人数作为变量y，通过回归分析，得到模型
用于对疫情进行分析.对上表的数据作初步处理，得到下面的一些统计量的值（部分数据已作近似处理）：
，
.根据相关数据，求该模型的回归方程（结果精确到0.1），并依据该模型预测第10天新增确诊人数.
（2）如果一位新型冠状病毒的感染者传染给他人的概率为0.3，在一次12人的家庭聚餐中，只有一位感染者参加了聚餐，记余下的人员中被感染的人数为
，求
最有可能（即概率最大）的值是多少.
附：对于一组数据
，
…，
，其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为
.
【题目】众所周知，大型网络游戏（下面简称网游）的运行必须依托于网络的基础上，否则会出现频繁掉线的情况，进而影响游戏的销售和推广，某网游经销在甲地区5个位置对两种类型的网络（包括“电信”和“网通”）在相同条件下进行游戏掉线的测试，得到数据如下：
位置 类型 | A | B | C | D | E |
电信 | 4 | 3 | 8 | 6 | 12 |
网通 | 5 | 7 | 9 | 4 | 3 |
（1）如果在测试中掉线次数超过5次，则网络状况为“糟糕”，否则为“良好”，那么在犯错误的概率不超过0.15的前提下，能否说明网络状况与网络的类型有关？
（2）若该游戏经销商要在上述接受测试的电信的5个地区中任选2个作为游戏推广，求A，B两地区至少选到一个的概率．
参考公式：
．
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