Question

【题目】如图，四棱锥中，底面为平行四边形， ， ， 底面．

（1）证明：平面平面；

（2）若二面角的大小为，求与平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】试题分析：（1）先利用勾股定理和线面垂直的性质得到线线垂直，再利用线面垂直的判定定理进行证明；（2）先利用前一步结论得到垂直关系，进而找出二面角的平面角，以垂直关系建立适当的空间直角坐标系，将线面角转化为空间向量进行求解.

试题解析：（1）∵，∴，

又∵底面， 底面，∴

又∵，∴平面.

而平面，∴平面平面.（2）由（1）所证， 平面，所以即为二面角的平面角，即，

而，所以.

因为底面为平行四边形， ，

分别以为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，

则， ， ， ，

所以， ， ，

设平面的法向量为，则，即，

令，则

∴与平面所成角的正弦值为.