题目内容
【题目】已知函数
在点
处的切线与直线
垂直.（注： 
为自然对数的底数）
（1）求
的值；
（2）若函数
在区间
上存在极值，求实数
的取值范围；
（3）求证：当
时， 
恒成立.
【答案】（1）
；（2）
；（3）详见解析.
【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，求出切线的斜率，结合两直线垂直的条件，可得
的方程，解出即可；（2）求出单调区间可得极值点1，令
，可得
取值范围；（3）当
时， 
，令
，运用二次求导可得函数
，得结论.
试题解析：（1）因为
，所以
，
又据题意，得
，所以
，所以
.
（2）
，
当
时， 
， 
为增函数，
当
时， 
， 
为减函数.
所以函数
仅当
时，取得极值.
又函数
在区间
上存在极值，所以
，所以
.
故实数
的取值范围是
.
（3）当
时， 
，令
，则
，
再令
，则
，
又因为
，所以
.
所以
在
上是增函数，
又因为
，
所以当
时， 
.
所以
在区间
上是增函数.
所以当
时， 
，又
，∴
恒成立，即原不等式成立.
【题目】为了了解青少年的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对30名青少年进行调查，得到如下列联表：
常喝 | 不常喝 | 总计 | |
肥胖 | 2 | ||
不肥胖 | 18 | ||
总计 | 30 |
已知从这30名青少年中随机抽取1名，抽到肥胖青少年的概率为
．
（1）请将列联表补充完整；（2）是否有99.5%的把握认为青少年的肥胖与常喝碳酸饮料有关？
独立性检验临界值表：
P（K2≥k0） | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
参考公式：
，其中n=a+b+c+d．
【题目】某校随机调查了80位学生，以研究学生中爱好羽毛球运动与性别的关系，得到下面的
列联表：
爱好 | 不爱好 | 合计 | |
男 | 20 | 30 | 50 |
女 | 10 | 20 | 30 |
合计 | 30 | 50 | 80 |
（Ⅰ）将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查了本校的3名学生，设这3人中爱好羽毛球运动的人数为
，求
的分布列，数学期望及方差；
（Ⅱ）根据表中数据，能否有充分证据判断爱好羽毛球运动与性别有关？若有，有多大把握？
| 0.500 | 0.100 | 0.050 | 0.010 |
| 0.455 | 2.706 | 3.841 | 6.635 |
附：
