Question

9．一火车锅炉每小时煤的消耗费用与火车行驶速度的立方成正比，已知当速度为20km/h时，每小时消耗的煤价值40元，其他费用每小时需400元，火车的最高速度为100km/h，火车以何速度行驶才能使从甲城开往乙城的总费用最少？

Answer 1

分析 设火车的速度为xkm/h，甲、乙两城距离为akm，由40=k•20³，求得k，总费用$f（x）=（k{x^3}+400）•\frac{a}{x}$，求得导数，求出单调区间，即可得到极小值，也为最小值．

解答 解：设火车的速度为xkm/h，甲、乙两城距离为akm．
由题意，令40=k•20³，∴$k=\frac{1}{200}$，
则总费用$f（x）=（k{x^3}+400）•\frac{a}{x}$=$a（k{x^2}+\frac{400}{x}）=a（\frac{1}{200}{x^2}+\frac{400}{x}）（0＜x≤100）$．
由$f'（x）=\frac{{a（{x^3}-40000）}}{{100{x^2}}}=0$，得$x=20\;\root{3}{5}$．
当$0＜x＜20\;\root{3}{5}$时，f'（x）＜0，当20$\root{3}{5}$＜x＜100时，f′（x）＞0，
∴当$x=20\;\root{3}{5}$时，f（x）取最小值，
即速度为$20\;\root{3}{5}$km/h时，总费用最少．

点评 本题考查导数在最值问题中的运用，考查运算能力，属于中档题．