Question

14．已知函数f（x）=lnx-$\frac{1}{2}$ax²-2x+b（a，b∈R）．
（I）若函数f（z）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为x-y+2=0，求a，b的值；
（Ⅱ）若f（x）在区间（0，2〕上单调递增，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （I）求出导数，求得切线的斜率，由切线方程可得a，b的方程组，即可得到a，b的值；
（Ⅱ）由题意可得f′（x）≥0在（0，2）恒成立，即有$\frac{1}{x}$-ax-2≥0，即a≤$\frac{1-2x}{{x}^{2}}$的最小值，运用配方即可得到最小值．

解答 解：（I）函数f（x）=lnx-$\frac{1}{2}$ax²-2x+b的导数为f′（x）=$\frac{1}{x}$-ax-2，
由在点（1，f（1））处的切线方程为x-y+2=0，
可得1-a-2=1，f（1）=-$\frac{1}{2}$a-2+b=3，
解得a=-2，b=4；
（Ⅱ）若f（x）在区间（0，2〕上单调递增，即为f′（x）≥0在（0，2）恒成立，即有$\frac{1}{x}$-ax-2≥0，
即a≤$\frac{1-2x}{{x}^{2}}$的最小值，
由$\frac{1-2x}{{x}^{2}}$=（$\frac{1}{x}$-1）²-1，当x=1∈（0，2）时，取得最小值-1．
则a≤-1．即实数a的取值范围是（-∞，-1]．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离，属于中档题．