Question

18．已知平面上四点：A（4，3），B（5，2），C（1，0），D（2，3）
（1）证明：A、B、C、D四点共圆；
（2）已知点N是（1）中圆上的一个动点，点P（6，0），点Q（x，y）是线段PN的三等分点且距点P近一些，求点Q的坐标满足的方程．

Answer 1

分析 （1）求出经过三点的圆的方程，再把第四个点的坐标代入检验，满足方程，可得A、B、C、D四点共圆．
（2）设点N的坐标为（x₁，y₁），则x₁²+y₁²-6x₁-2y₁+5=0 ①，设Q的坐标为（x，y），由题意可得，点Q分有向线段NP成的比为2，再利用定比分点坐标公式求出x₁=3x-12，y₁=3y，代入①可得点Q的坐标满足的方程．

解答 解：（1）设A（4，3）、B（5，2）、C（1，0）三点共圆于x²+y²+Dx+Ey+F=0，
则$\left\{\begin{array}{l}{16+9+4D+3E+F=0}\\{25+4+5D+2E+F=0}\\{1+D+F=0}\end{array}\right.$，求得D=-6，E=-2，F=5，
∴A、B、C共圆于x²+y²-6x-2y+5=0，
把D（2，3）代入此方程，成立，故A、B、C、D四点共圆．
（2）设点N的坐标为（x₁，y₁），则x₁²+y₁²-6x₁-2y₁+5=0 ①，
设Q的坐标为（x，y），由题意可得，点Q分有向线段NP成的比为2，
则x=$\frac{{x}_{1}+2×6}{1+2}$，y=$\frac{{y}_{1}+2×0}{1+2}$，即：x₁=3x-12，y₁=3y．
再把点N的坐标（3x-12，3y ）代入方程①可得 （x-12）²+（3y）²-6（3x-12）-2×3y+5=0，
即 x²+9y²-42x-6y+89=0．

点评 本题主要考查圆的一般方程，定比分点坐标公式，用代入法求轨迹方程，属于中档题．