Question

19．已知过点F（0，1），且斜率为k的直线l与抛物线E：x²=4y相交于A，B两点，与圆F：x²+（y-1）²=1相交于C，D两点，其中，点A，C在第一象限．
（1）求|AC|×|BD|的值；
（2）过点C作圆F的切线l，当$\frac{\sqrt{2}}{4}$≤k≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$时，求直线l₁在y轴上的截距的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由已知可知，直线l方程为y=kx+1，代入抛物线方程消去y，结合抛物线的定义，即可得出结论．
（2）求出过点C作圆F的切线l的方程，令x=0可得y，利用$\frac{\sqrt{2}}{4}$≤k≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$时，求直线l₁在y轴上的截距的取值范围．

解答 解：（1）设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
由已知可知，直线l方程为y=kx+1，代入抛物线方程消去y，得x²-4kx-4=0，
∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4，
∴y₁y₂=kx₁x₂+（x₁+x₂）+1=1
则|AC|×|BD|=（y₁+1-1）（y₂+1-1）=y₁y₂=1；
（2）y=kx+1代入圆F：x²+（y-1）²=1可得C（$\sqrt{\frac{1}{1+{k}^{2}}}$，k$\sqrt{\frac{1}{1+{k}^{2}}}$+1），
∴过点C作圆F的切线l的方程为y-k$\sqrt{\frac{1}{1+{k}^{2}}}$-1=-$\frac{1}{k}$（x-$\sqrt{\frac{1}{1+{k}^{2}}}$），
令x=0，可得y=（k+$\frac{1}{k}$）$\sqrt{\frac{1}{1+{k}^{2}}}$+1=$\sqrt{\frac{1}{{k}^{2}}+1}$+1，
∵$\frac{\sqrt{2}}{4}$≤k≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴3≤$\frac{1}{{k}^{2}}$≤8
∴3≤y≤4．

点评 抛物线的定义，可以将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离．