题目内容
【题目】定义在上的函数
,如果满足:对任意
,存在常数
,都有
成立,则称
是
上的有界函数,其中
称为函数
的一个上界.已知函数
,
.
(1)若函数为奇函数,求实数
的值;
(2)在(1)的条件下,求函数在区间
上的所有上界构成的集合;
(3)若函数在
上是以5为上界的有界函数,求实数
的取值范围.
【答案】(1);(2)
;(3)
.
【解析】
试题(1)利用奇函数的定义,建立方程,即可求解实数的值.(2)求出函数
在区间
上的值域为
,结合新定义,即可求得结论;(3)由题意得函数
在
上是以
为上界的有界函数,即
在区间
上恒成立,可得
上恒成立,求出左边的最大值右边的最小值,即可求实数
的范围.
试题解析:(1)因为函数为奇函数,
所以,即
,
即,得
,而当
时不合题意,故
.
(2)由(1)得:,
而,易知
在区间
上单调递增,
所以函数在区间
上单调递增,
所以函数在区间
上的值域为
,所以
,
故函数在区间
上的所有上界构成集合为
.
(3)由题意知,在
上恒成立,
,
.
∴在
上恒成立.
∴
设,
,
,由
,得
.
易知在
上递增,
设,
,
所以在
上递减,
在
上的最大值为
,
在
上的最小值为
,
所以实数的取值范围为
.
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