Question

19．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}（x≤0）}\\{lo{g}_{2}x（x＞0）}\end{array}\right.$，若f[f（x）]≥-2，则x的取值范围是（　　）

• A． [-2，1]
• B． [$\root{4}{2}$，+∞）
• C． [-2，1]∪[$\root{4}{2}$，+∞）
• D． [0，1]∪[$\root{4}{2}$，+∞）

Answer 1

分析 ①当x≤0时，f（x）=2^x，解不等式求得它的解集；②当x＞0时，f（x）=log₂x，再分x＞1、0＜x≤1，两种情况，分别求得不等式的解集；再把它们的解集取并集，即得所求．

解答 解：①当x≤0时，f（x）=2^x∈（0，1]，f[f（x）]=${{log}_{2}2}^{x}$=x，
由不等式f[f（x）]≥-2，可得0≥x≥-2．
②当x＞0时，f（x）=log₂x，
若x＞1，则f（x）＞0，f[f（x）]=log₂f（x）=log₂（log₂x），
由不等式f[f（x）]≥-2=${log}_{2}\frac{1}{4}$，可得log₂x≥$\frac{1}{4}$，x≥${2}^{\frac{1}{4}}$=$\root{4}{2}$，故x＞$\root{4}{2}$．
若0＜x≤1，则f（x）≤0，f[f（x）]=2^f（x）=${2}^{{log}_{2}x}$=x，
由不等式f[f（x）]≥-2，可得x≥-2，故0＜x≤1．
综上可得，0≥x≥-2 或x＞$\root{4}{2}$ 或0＜x≤1，即x的取值范围是[-2，1]∪[$\root{4}{2}$，+∞），
故选：C．

点评 本题主要考查指数函数、对数函数的性质，复合函数的性质，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．