Question

【题目】已知函数，且数列满足.

（1）若数列是等差数列，求数列的通项公式；

（2）若对任意的，都有成立，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）设等差数列的公差为，由已知条件得出，由和可得出关于和的方程组，解出这两个量的值，利用等差数列的通项公式可求得；

（2）推导出，可知数列中的奇数项和偶数项分别成以为公差的等差数列，以此求出数列的通项公式，然后分为奇数和偶数两种情况讨论，结合恒成立，利用参变量分离法可求得的取值范围.

（1）设等差数列的公差为，依题意得，故，

则，解得，

因此，数列的通项公式为；

（2）由（1）知，当时，，①，，②

两式相减得，

数列是以为首项，为公差的等差数列，数列是以为首项，为公差的等差数列

又 ，

当为偶数时，；

当为奇数时，.

.

因为对任意的都有成立，

当为奇数时，恒成立，

在为奇数时恒成立，即，；

同理当为偶数时，恒成立，

在为偶数时恒成立，.

综上所述，的取值范围是.