Question

【题目】大气污染是我国目前最突出的环境问题之一，其中工厂废气是大气污染的重大污染源之一。工厂废气未经净化处理排放至空气中，除了对空气质量造成严重破坏，还会对人体的健康造成重大威胁。长期生活在污染的空气中，生活质量及身体健康将急剧下降。某工厂因为污染问题需改进技术，2019年初购进一台环保新机器投入生产，机器的成本价为36万元，第年该机器包括维修费和机器护理费用在内，每年另需投人费用万元，购进该机器后每年盈利20万元．

（1）问该机器投入生产第几年，工厂开始盈利（即总收入大于所有投人的费用）?

（2）由于机器使用年限越大维修等费用越高，所以工厂决定当年平均利润最大时将该机器以5万元低价处理，问使用该机器几年后工厂年平均利润最大?此时工厂获得的总利润为多少?

Answer 1

【答案】（1）3

（2）经过6年后年平均利润最大，工厂获得的总利润为万元

【解析】

（1）根据题意求得总收入减去机器成本和每年的额外投入费用之和，即为盈利的表达式，解不等式即可确定开始盈利的时间.

（2）根据（1）中盈利表达式，即可求得年平均利润的表达式，再根据基本不等式的性质即可确定年平均利润最大及总利润.

（1）设引进该机器第年开始盈利，盈利为y元，

则

由，得．

解得，

即引进该机器第3年，工厂开始盈利．

（2）①平均盈利为，

当且仅当，即时，年平均利润最大，

所以引进该机器经过6年后年平均利润最大，

工厂获得的总利润为万元．