[题目]已知函数是定义在上的奇函数.当时..则函数在上的所有零点之和为( )A.B.C.D. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

【题目】已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则函数在上的所有零点之和为（）

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】

先证明函数是偶函数，函数在上所有的零点的和，即函数在上所有的零点之和.再分析得到函数在的零点为，再证明函数在没有零点，即得解.

∵函数是定义在上的奇函数，∴.

又∵函数，

∴，

∴函数是偶函数，∴函数的零点都是以相反数的形式成对出现的.

∴函数在上所有的零点的和为，

∴函数在上所有的零点的和，即函数在上所有的零点之和.

由时，，即

令，

∴函数在上的值域为，当且仅当时，，

又∵当时，，

∴函数在上的值域为，函数在上的值域为，函数在上的值域为，当且仅当时，，函数在上的值域为，当且仅当时，，

故在上恒成立，在上无零点.

同理在上无零点，依此类推，函数在无零点.

综上函数在上的所有零点之和为.

故选：B.

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