题目内容
【题目】已知椭圆的离心率为
,椭圆
的长轴长为4.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知直线与椭圆
交于
两点,是否存在实数
使得以线段
为直径的圆恰好经过坐标原点
?若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1) ;(2) 存在实数
使得以线段
为直径的圆恰好经过坐标原点
,理由见解析.
【解析】
(1)由长轴长为4,可得求出,再结合
及
,即可求出
,从而求出椭圆
的方程;
(2) 设,
,将直线
的方程与椭圆
的方程联立消去
,利用根与系数的关系求出
,
,再由以线段
为直径的圆恰好经过坐标原点
,可得
,即
,将
,
整体代入即可求出
.
(1)因为椭圆的长轴长为4,所以
,所以
,
又,所以
,所以
,
所以椭圆的方程为
.
(2)存在实数使得以线段
为直径的圆恰好经过坐标原点
.
证明:设,
,
由,得
,
因为直线与椭圆
交于
两点,
所以,所以
或
,
所以,
,
所以
因为以线段为直径的圆恰好经过坐标原点
,所以
,
所以,即
,
所以,解得
,
所以存在实数使得以线段
为直径的圆恰好经过坐标原点
.

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