题目内容
2．已知两个正数a，b满足a+b=1（1）求证：$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$≥4
（2）若不等式|x-2|+|2x-1|≤$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$对任意正数a，b都成立，求实数x的取值范围．
分析 （1）由条件利用基本不等式证得结论．
（2）由题意可得|x-2|+|2x-1|≤4，分类讨论，去掉绝对值，求得它的解集．
解答 解：（1）证明：∵两个正数a，b满足a+b=1，∴$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=$\frac{a+b}{a}$+$\frac{a+b}{b}$=2+$\frac{b}{a}$+$\frac{a}{b}$≥2+2=4，
当且仅当a=b=$\frac{1}{2}$时，取等号，
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$≥4成立．
（2）由题意结合（1）可知，只须|x-2|+|2x-1|≤4，
而当$x＜\frac{1}{2}$时，解不等式2-x+1-2x≤4得$-\frac{1}{3}≤x＜\frac{1}{2}$，
当$\frac{1}{2}≤x＜2$时，解不等式2-x+2x-1≤4得$\frac{1}{2}≤x＜2$，
当x≥2时，解不等式x-2+2x-1≤4得$2≤x≤\frac{7}{3}$，
综上|x-2|+|2x-1|≤4的解集为$\{x\left|{-\frac{1}{3}≤x≤\frac{7}{3}}\right.\}$．
点评 本题主要考查基本不等式的应用，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．
练习册系列答案
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12．已知0＜a＜1＜b，则下面不等式中一定成立的是（ ）
| A． | logab+logba+2＞0 | B． | logab+logba+2＜0 | C． | logab+logba+2≥0 | D． | logab+logba+2≤0 |
13．若集合A={x|x2-2x+m=0}=∅，则实数m的取值范围是（ ）
| A． | （-∞，-1） | B． | （-∞，1） | C． | （1，+∞） | D． | [1，+∞） |
10．已知a、b、m∈R+且a＞b，则（ ）
| A． | $\frac{a}{b}$＞$\frac{a+m}{b+m}$ | B． | $\frac{a}{b}$=$\frac{a+m}{b+m}$ | ||
| C． | $\frac{a}{b}$＜$\frac{a+m}{b+m}$ | D． | $\frac{a}{b}$与$\frac{a+m}{b+m}$间的大小不能确定 |