题目内容
12．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$）．（Ⅰ）求曲线C的平面直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线l与曲线C交于点M，N，若点P的坐标为（1，0），求点P与MN中点的距离．
分析 （Ⅰ）由曲线C的极坐标方程为ρ=2$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$），展开得${ρ}^{2}=2\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$（ρsinθ+ρcosθ），利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可得出；
（II）把直线l的标准参数方程代入曲线C的直角坐标方程可得${t}^{2}-\sqrt{2}t$-1=0，由t的几何意义，可得点P与MN中点的距离为$|\frac{{t}_{1}+{t}_{2}}{2}|$．
解答 解：（Ⅰ）由曲线C的极坐标方程为ρ=2$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$），展开得${ρ}^{2}=2\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$（ρsinθ+ρcosθ），
可得直角坐标方程为：x2+y2=2y+2x，配方为（x-1）2+（y-1）2=2．
（Ⅱ）把直线l的标准参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得$（\frac{\sqrt{2}}{2}t）^{2}+（\frac{\sqrt{2}}{2}t-1）^{2}$=2，即${t}^{2}-\sqrt{2}t$-1=0，
由于△=6＞0，可设t1，t2是上述方程的两实根，则${t_1}+{t_2}=\sqrt{2}$．
∵直线l过点P（1，0），
∴由t的几何意义，可得点P与MN中点的距离为$|{\frac{{{t_1}+{t_2}}}{2}}|=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线参数方程的应用、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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