Question

17．已知ABCD-A₁B₁C₁D₁是长方体，且AB=AA₁=2，AD=4，M是BC中点，N是A₁D₁中点．
（Ⅰ）求证：AM⊥平面MDD₁；
（Ⅱ）求证：DN⊥MD₁；
（Ⅲ）求三棱锥A-MBD₁的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明：AM⊥DM，DD₁⊥AM，而DD₁、DM在平面MDD₁内，即可证明AM⊥平面MDD₁；
（Ⅱ）证明DN⊥平面MM₁D₁，即可证明：DN⊥MD₁；
（Ⅲ）利用等体积转化，即可求三棱锥A-MBD₁的体积．

解答 （Ⅰ）证明：在矩形ABCD中，M是BC中点，
∴AM=$\sqrt{A{B}^{2}+B{M}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，DM=$\sqrt{C{D}^{2}+C{M}^{2}}$=$\sqrt{A{B}^{2}+B{M}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
故AM²+DM²=16=AD²，即AM⊥DM（2分）
又ABCD-A₁B₁C₁D₁是长方体，∴DD₁⊥平面ABCD
∴DD₁⊥AM（3分）
而DD₁、DM在平面MDD₁内
∴AM⊥平面MDD₁（4分）
（Ⅱ）证明：设M₁是AD中点，连结MM₁，则MM₁∥AB
∴MM₁⊥平面ADD₁A₁，因此MM₁⊥DN（6分）
连结NM₁，则NM₁∥DD₁，
又DD₁=AA₁=2，DM=$\frac{1}{2}$AD=2
∴NM₁DD₁是正方形，因此DN⊥D₁M（8分）
∴DN⊥平面MM₁D₁
而MD₁在平面MM₁D₁内，∴DN⊥MD₁（10分）
（Ⅲ）解：三棱锥A-MBD₁的体积=三棱锥D₁-AMB的体积=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×AB×BM×D{D}_{1}$
=$\frac{1}{6}×2×2×2$=$\frac{4}{3}$．（12分）

点评 本题主要考查线面垂直的判定定理，考查三棱锥体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．