Question

7．若x、y满足$\left\{\begin{array}{l}x+3y-5≥0\\ x+y≤7\\ x-2≥0\end{array}$，则z=x+ay的最大值为12，则实数a=2或-4．

Answer 1

分析 作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，结合目标函数z=x-ay（a＞0）的最大值为1，然后根据条件即可求出a的值．

解答 解：作出不等式组$\left\{\begin{array}{l}x+3y-5≥0\\ x+y≤7\\ x-2≥0\end{array}\right.$对应的平面区域如图：（阴影部分）．
由z=x+ay的最大值为12，得y=$-\frac{1}{a}x+\frac{z}{a}$，
当a＞0，∴目标函数的斜率k=-$\frac{1}{a}$＜0，
平移直线y=$-\frac{1}{a}x+\frac{z}{a}$，
由图象可知当直线y=$-\frac{1}{a}x+\frac{z}{a}$经过点A时，直线的截距最小，此时z最大为12，即x+ay=12．
由$\left\{\begin{array}{l}x+y=7\\ x-2=0\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=5\end{array}\right.$，
即A（2，5），
此时2+5a=12．
解得a=2．
当a＜0，∴目标函数的斜率k=-$\frac{1}{a}$＞0，
平移直线y=$-\frac{1}{a}x+\frac{z}{a}$，
由图象可知当直线y=$-\frac{1}{a}x+\frac{z}{a}$经过点B时，直线的截距最大为12，即x+ay=12．
由$\left\{\begin{array}{l}x+3y-5=0\\ x+y=7\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}x=8\\ y=-1\end{array}\right.$，
即B（8，-1），
此时8-a=12．
解得a=-4．
故答案为：2或-4．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．