Question

12．给出下列四个命题：①当x＞0且x≠1时，有lnx+$\frac{1}{lnx}$≥2；②△ABC中，A＞B是sinA＞sinB成立的充要条件；
③函数y=a^x的图象可以由函数y=2a^x（其中a＞0且a≠1）的图象通过平移得到；④函数y=f（1+x）与函数y=f（1-x）的图象关于直线x=1对称；其中正确命题的序号为②③④．

Answer 1

分析 由基本不等式可判断①；由正弦定理可判断②；由函数图象的平移变换，可判断③；由函数图象的对称变换法则，可判断④．

解答 解：①当x＞1时，lnx＞0，lnx+$\frac{1}{lnx}$≥2$\sqrt{lnx•\frac{1}{lnx}}$=2；当0＜x＜1时，lnx＜0，lnx+$\frac{1}{lnx}$≤-2$\sqrt{lnx•\frac{1}{lnx}}$=-2，故①错误；
②△ABC中，A＞B?a＞b?2RsinA＞2RsinB?sinA＞sinB，故A＞B是sinA＞sinB成立的充要条件，故②正确；
③函数y=2a^x=${a}^{x+{log}_{a}2}$，故函数y=a^x的图象可以由函数y=2a^x（其中a＞0且a≠1）的图象向右平移log_a2个单位得到，故③正确；
④函数y=f（1+x）与函数y=f（1-x）的图象关于直线x=1对称，故④正确；
故正确命题的序号是：②③④

点评 本题以命题的真假判断为载体，考查了基本不等式，充要条件，正弦定理，函数图象变换等知识点，难度不大，属于基础题．