Question

5．已知a＞0，b＞0，比较a^bb^a与a^ab^b的大小．

Answer 1

分析 运用作商法，再由指数函数的单调性，即可判断．

解答 解：$\frac{{a}^{a}{b}^{b}}{{a}^{b}{b}^{a}}$=（$\frac{a}{b}$）^a•（$\frac{b}{a}$）^b
=（$\frac{a}{b}$）^a-b，
当a＞b时，
由于a＞b＞0，则a-b＞0，$\frac{a}{b}$＞1．
即有（$\frac{a}{b}$）^a-b＞（$\frac{a}{b}$）⁰=1，
则有a^ab^b＞a^bb^a，
当a=b时，a^ab^b=a^bb^a，
当a＜b时，
由于b＞a＞0，则a-b＜0，0＜$\frac{a}{b}$＜1．
即有（$\frac{a}{b}$）^a-b＞（$\frac{a}{b}$）⁰=1，
则有a^ab^b＞a^bb^a，
综上所述：a^ab^b≥a^bb^a．

点评 本题考查不等式的大小比较，考查作商法比较大小，考查指数函数的单调性和运用，属于中档题