Question

8．已知数列{a_n}的通项公式为a_n=2n+（-1）ⁿ⁺¹•（1+λn），其中是常数，n∈N^*．
（I）当a₂=-1时，求λ的值；
（Ⅱ）数列{a_n}是否可能为等差数列？证明你的结论；
（Ⅲ）若对于任意n∈N^*，都有a_n＞0，求λ的取值范围．

Answer 1

分析 （I）通过在a_n=2n+（-1）ⁿ⁺¹•（1+λn）中令n=2，计算即得结论；
（II）通过a_n=2n+（-1）ⁿ⁺¹•（1+λn）（n∈N^*）求出前4项的值，假设存在λ使{a_n}为等差数列，利用2a₂=a₁+a₃可知λ=$-\frac{1}{2}$，验证即可得出结论；
（III）通过a_n＞0可知（-1）ⁿ$•λ＜2+\frac{{{{（-1）}^{n+1}}}}{n}$，分n为正奇数、正偶数两种情况讨论即可．

解答 解：（I）因为a_n=2n+（-1）ⁿ⁺¹•（1+λn）（n∈N^*），
所以n=2时，a₂=3-2λ．（1分）
由3-2λ=-1，
解得λ=2．（2分）
（II）结论：数列{a_n}不可能为等差数列．
证明如下：
由a_n=2n+（-1）ⁿ⁺¹•（1+λn）（n∈N^*），得
a₁=3+λ，a₂=3-2λ，a₃=7+3λ，a₄=7-4λ．（4分）
若存在λ，使{a_n}为等差数列，则2a₂=a₁+a₃，（5分）
即2（3-2λ）=（3+λ）+（7+3λ），
解得λ=$-\frac{1}{2}$．（6分）
于是，a₂-a₁=-3λ=$\frac{3}{2}$，a₄-a₃=-7λ=$\frac{7}{2}$，这与{a_n}为等差数列矛盾！
所以，对任意实数λ，{a_n}都不可能是等差数列．（7分）
（III）由a_n＞0，得2n+（-1）ⁿ⁺¹•（1+λn）＞0，
将上式变形为（-1）ⁿ$•λ＜2+\frac{{{{（-1）}^{n+1}}}}{n}$，其中n∈N^*．①
（i）当n为正偶数时，①式化简为$λ＜2-\frac{1}{n}$．
因为2-$\frac{1}{n}$随着正偶数n的增大而增大，
欲使上式对于任意正偶数恒成立，则λ＜2$-\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$．（9分）
（ii）当n为正奇数时，①式化简为$λ＞-2-\frac{1}{n}$．
因为$-2-\frac{1}{n}$随着正奇数n的增大而增大，
欲使上式对于任意正奇数恒成立，则λ≥-2．（11分）
综上，若对于任意n∈N^*，都有a_n＞0，则λ的取值范围是[-2，$\frac{3}{2}$）．（12分）

点评 本题考查数列的递推式，注意解题方法的积累，属于中档题．