Question

5．设函数y=f（x）是定义域（0，+∞）上单调递减函数，并满足f（xy）=f（x）+f（y），f（$\frac{1}{3}$）=1，
（1）求f（1）的值；
（2）如果f（x）+f（1一x）＜2，求x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）令x=y=1，即可求f（1）的值；
（2）如果f（x）+f（1一x）＜2，利用条件关系将不等式进行转化，结合函数的单调性即可求x的取值范围．

解答 解：（1）∵f（xy）=f（x）+f（y），
∴令x=y=1，
则f（1）=f（1）+f（1），
即f（1）=0；
（2）∵f（x）+f（1一x）＜2，
∴f（x（1-x））＜2，
∵f（$\frac{1}{3}$）=1，
∴f（$\frac{1}{3}$）+f（$\frac{1}{3}$）=f（$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{3}$）=f（$\frac{1}{9}$）=2，
即不等式等价为f（x（1-x））＜f（$\frac{1}{9}$），
∵y=f（x）是定义域（0，+∞）上单调递减函数，
∴满足$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{1-x＞0}\\{x（1-x）＞\frac{1}{9}}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{x＜1}\\{9{x}^{2}-9x+1＜0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{x＜1}\\{\frac{3-\sqrt{5}}{6}＜x＜\frac{3+\sqrt{5}}{6}}\end{array}\right.$，
解得$\frac{3-\sqrt{5}}{6}$＜x＜$\frac{3+\sqrt{5}}{6}$，
即x的取值范围是（$\frac{3-\sqrt{5}}{6}$，$\frac{3+\sqrt{5}}{6}$）．

点评 本题主要考查抽象函数的应用，以及不等式的求解，利用赋值法是解决本题的关键．