题目内容

20.设f(x)=(m+1)x2+2mx+1.问:
(1)当m取何值时,f(x)为偶函数?
(2)若f(x)在[1,+∞)上是增函数,求m的范围;
(3)若不等式f(x)≥0的解集是R.求m的范围.

分析 (1)可假设f(x)为偶函数,便有f(-x)=f(x),然后根据多项式相等时,对应项系数相等即可得出m值;
(2)先判断f(x)是否为二次函数,从而判断m=-1和m≠-1:m=-1时容易判断不合条件,而m≠-1时,原函数便是二次函数,这样需满足$\left\{\begin{array}{l}{m+1>0}\\{-\frac{m}{m+1}≤1}\end{array}\right.$,解该不等式组即得m的范围;
(3)讨论过程同(2),可判断m≠-1,并且m要满足$\left\{\begin{array}{l}{m+1>0}\\{△≤0}\end{array}\right.$,从而解该不等式组即可得出m的范围.

解答 解:(1)若f(x)为偶函数,则:f(-x)=(m+1)x2-2mx+1=(m+1)x2+2mx+1;
∴-2m=2m;
∴m=0;
即m=0时,f(x)为偶函数;
(2)①若m=-1,则f(x)=-2x+1,该函数在[1,+∞)上是减函数,即这种情况不存在;
②若m≠-1,若f(x)在[1,+∞)上为增函数,则:
$\left\{\begin{array}{l}{m+1>0}\\{-\frac{m}{m+1}≤1}\end{array}\right.$;
解得$m≥-\frac{1}{2}$;
∴m的范围为$[-\frac{1}{2},+∞)$;
(3)①若m=-1,f(x)=-2x+1,显然,f(x)≥0的解集不会是R,不满足条件;
②若m≠0,若不等式f(x)≥0的解集为R,则:
$\left\{\begin{array}{l}{m+1>0}\\{△=4{m}^{2}-4(m+1)≤0}\end{array}\right.$;
解得$\frac{1-\sqrt{5}}{2}≤m≤\frac{1+\sqrt{5}}{2}$;
∴m的范围为:[$\frac{1-\sqrt{5}}{2},\frac{1+\sqrt{5}}{2}$].

点评 考查偶函数的定义及判断方法和过程,一次函数的单调性,二次函数的对称轴,二次函数的单调性,以及二次函数f(x)≥0恒成立时要满足的条件.

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