Question

16．若函数f（x）=$\frac{{x}^{3}}{3}$-ax²+bx+1在区间（$\frac{1}{2}$，3）上有极值点，且在点（0，1）处的切线与直线x+y-2=0垂直，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （1，$\frac{5}{4}$）
• B． （1，$\frac{5}{3}$）
• C． [1，$\frac{5}{4}$）
• D． [1，$\frac{5}{3}$）

Answer 1

分析 求出函数的导数，利用切线方程求出b，通过函数的极值，利用函数的单调性求解a的范围即可．

解答 解：函数f（x）=$\frac{{x}^{3}}{3}$-ax²+bx+1可得：f′（x）=x²-2ax+b，且在点（0，1）处的切线与直线x+y-2=0垂直，可得f′（0）=b=1．
在区间（$\frac{1}{2}$，3）上有极值点，即x²-2ax+1=0，在（$\frac{1}{2}$，3）上有根．
可得a=$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2x}$．
由于函数a=$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2x}$，在（$\frac{1}{2}$，1]上是减函数，在（1，3）上是增函数．
可得当x=1时，函数a取得最小值为1．
再根据当a趋于$\frac{1}{2}$时，函数a趋于$\frac{5}{4}$；当a趋于3时，函数值a趋于$\frac{5}{3}$．
a=1导函数为：（x-1）²，恒大于等于零，函数单调递增，无极值点，应舍去．
可得a的范围是：（$1，\frac{5}{3}$）．
故选：B．

点评 本题主要考查利用函数的单调性求函数的最值，函数的切线方程的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．