题目内容
8.在直角坐标系xOy中,以坐标原点O为极点,以x轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线C1:$\left\{\begin{array}{l}{x=4+t}\\{y=5+2t}\end{array}\right.$(t为参数),曲线C2:ρ2-6ρcosθ-10ρsinθ+9=0.(Ⅰ)将曲线C1化成普通方程,将曲线C2化成参数方程;
(Ⅱ)判断曲线C1和曲线C2的位置关系.
分析 (Ⅰ)消去参数t,把曲线C1的参数方程化为普通方程;利用极坐标公式,把曲线C2的极坐标方程化为普通方程,再把普通方程化为参数方程;
(Ⅱ)由曲线C1上的点P到圆C2的圆心O′的距离|PO′|<r,得出曲线C1、C2相交.
解答 解:(Ⅰ)∵曲线C1:$\left\{\begin{array}{l}{x=4+t}\\{y=5+2t}\end{array}\right.$,
∴t=x-4,
代入y=5+2t得,
y=5+2(x-4),即y=2x-3.
∴曲线C1的普通方程是y=2x-3;…(2分)
将ρ=$\sqrt{{x}^{2}{+y}^{2}}$,ρcosθ=x,ρsinθ=y代入曲线C2的方程
ρ2-6ρcosθ-10ρsinθ+9=0,得
x2+y2-6x-10y+9=0,…(4分)
即(x-3)2+(y-5)2=25;…(5分)
设x-3=5cosα,y-5=5sinα,
得曲线C2的参数方程:$\left\{\begin{array}{l}{x=3+5cosα}\\{y=5+5sinα}\end{array}\right.$(α为参数);…(6分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,曲线C1是经过点P(4,5)的直线,
曲线C2是以O′(3,5)为圆心,半径为r=5的圆;…(7分)
∵|PO′|=1<r,…(8分)
∴点P(4,5)在曲线C2内,…(9分)
∴曲线C1和曲线C2相交.…(10分)
点评 本题考查了直线与圆的应用问题,也考查了参数方程与极坐标方程的应用问题,是基础题目.
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