Question

【题目】已知函数f（x）=ln（x﹣1）﹣kx+k+1．
（1）当k=1时，证明：f（x）≤0；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）证明： + +…+ ＜ （n∈N* ， 且n≥2）．

Answer 1

【答案】
（1）证明： k=1时，f（x）=ln（x﹣1）﹣x+2，定义域为（1，+∞），

f'（x）= =

由f'（x）＞0，得0＜x＜2；f'（x）＜0，得x＞2．

故f（x）在（1，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减

∴f（x）max=f（2）=0

∴f（x）≤0；

（2）解：f'（x）=

∵x＞1，∴

①当k≤0是，f'（x）＞0恒成立，故f（x）的单调增区间为（1，+∞），无单调减区间；

②当k＞0时，f'（x）=

由f'（x）＞0，得1＜x＜1+ ；f'（x）＜0，得x＞1+ ．

故f（x）的单调增区间为（1，1+ ），单调减区间为（1+ ，+∞）；

（3）证明：由（1）可知，ln（x﹣1）≤x﹣2，x＞1，

令x﹣1=t，则lnt≤t﹣1，t＞0，

取t=n2，则lnn2≤n2﹣1，即lnn ，

故 ，n∈N*，n≥2

∴ …+ …+ = ，

即 …+ ．

【解析】（1）利用导数，可知f（x）在（1，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减，故f（x）max=f（2）=0，从而结论成立；（2）f'（x）= ，对k进行分类讨论，即可求出单调区间；（3）由（1）可知，ln（x﹣1）≤x﹣2，令x﹣1=t，则lnt≤t﹣1，再用赋值法，取t=n2 ， 则lnn2≤n2﹣1，即lnn ，由此即可证明结论成立．
【考点精析】关于本题考查的利用导数研究函数的单调性，需要了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减才能得出正确答案．