题目内容
【题目】已知有穷数列共有
项
,且
.
(1)若,
,
,试写出一个满足条件的数列
;
(2)若,
,求证:数列
为递增数列的充要条件是
;
(3)若,则
所有可能的取值共有多少个?请说明理由.
【答案】(1)、
、
、
、
或
、
、
、
、
;(2)证明见解析;(3)
.
【解析】
(1)有穷数列共有
项
,且
,
,
,
,由此能写出满足条件的数列
;
(2)若数列为递增数列,由题意得
,
,
,
,由此能推导出
,由题意得
,
,
,推导出
,
,
,
,由
,推导出
,
,
,从而数列
是递增数列,由此能证明数列
为递增数列的充要条件为
;
(3)由题意得,
,
,
,推导出
的所有可能值与
最大值的差必为偶数,用数学归纳法证明
可以取到
与
之间相差
的所有整数,由此能求出
所有可能取值的个数.
(1)有穷数列共有
项
,且
,
,
,
,
则满足条件的数列有:
、
、
、
、
或
、
、
、
、
;
(2)①充分性:若数列为递增数列,由题意得:
,
,
,
,全加得
,
;
②必要性:由题意,
,
,
,
,
,
,
上述不等式全部相加得,
,
,所以,不等式
,
,
,
均取等号,
所以,,
,
,则数列
为单调递增数列.
综上所述,数列为递增数列的充要条件是
;
(3)由题意得,
,
,
,
假设,其中
,
,
则,
则中有
项
、
、
、
、
取负值,
则有,(*),
的所有可能值与
的差必为偶数,
下面利用数学归纳法证明可以取到
与
之间相差
的所有整数,
由(*)知,还要从、
、
、
、
中任取一项或若干项相加,可以得到从
到
的所有整数值即可.
①当时,显然成立;
②当时,从
、
中任取一项或两项相加,可以得到从
、
、
中任取一项或若干项相加,可以得到从
到
的所有整数,结论成立;
③假设当时,结论成立,即从
、
、
、
、
中任取一项或若干项相加,可以得到从
到
的所有整数值.
则当时,由假设,从
、
、
、
、
中任取一项或若干项相加,可以得到从
到
的所有整数值,
用取代
、
、
、
、
中的
,可得
,
用取代
、
、
、
、
中的
,可得
,
用取代
、
、
、
、
中的
,可得
,
将、
、
、
、
、
全部相加,可得
,故命题成立.
因此,所有可能的取值共有
个.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某种零件的质量指标值为整数,指标值为8时称为合格品,指标值为7或者9时称为准合格品,指标值为6或10时称为废品,某单位拥有一台制造该零件的机器,为了了解机器性能,随机抽取了该机器制造的100个零件,不同的质量指标值对应的零件个数如下表所示;
质量指标值 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
零件个数 | 6 | 18 | 60 | 12 | 4 |
使用该机器制造的一个零件成本为5元,合格品可以以每个元的价格出售给批发商,准合格品与废品无法岀售.
(1)估计该机器制造零件的质量指标值的平均数;
(2)若该单位接到一张订单,需要该零件2100个,为使此次交易获利达到1400元,估计的最小值;
(3)该单位引进了一台加工设备,每个零件花费2元可以被加工一次,加工结果会等可能出现以下三种情况:①质量指标值增加1,②质量指标值不变,③质量指标值减少1.已知每个零件最多可被加工一次,且该单位计划将所有准合格品逐一加工,在(2)的条件下,估计的最小值(精确到0.01) .