题目内容
【题目】已知函数.
(1)求函数在
上的单调递增区间;
(2)将函数的图象向左平移
个单位长度,再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的
倍(纵坐标不变),得到函数
的图象.求证:存在无穷多个互不相同的整数
,使得
.
【答案】(1)单调递增区间为;(2)见解析.
【解析】
(1)利用二倍角的降幂公式以及辅助角公式可将函数的解析式化简为
,然后求出函数
在
上的单调递增区间
,与定义域取交集可得出答案;
(2)利用三角函数图象变换得出,解出不等式
的解集
,可得知对
中的任意一个
,每个区间
内至少有一个整数
使得
,从而得出结论.
(1).
令,解得
,
所以,函数在
上的单调递增区间为
,
,因此,函数
在
上的单调递增区间为
;
(2)将函数的图象向左平移
个单位长度,得到函数
的图象,
再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变),得到函数
的图象,
由,
对于中的任意一个
,区间
长度始终为
,大于
,
每个区间
至少含有一个整数,
因此,存在无穷多个互不相同的整数,使得
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】已知某学校的特长班有50名学生,其中有体育生20名,艺术生30名,在学校组织的一次体检中,该班所有学生进行了心率测试,心率全部介于50次/分到75次/分之间,现将数据分成五组,第一组[50,55),第二组[55,60),…,第五组[70,75],按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示.因为学习专业的原因,体育生常年进行系统的身体锻炼,艺术生则很少进行系统的身体锻炼,若前两组的学生中体育生有8名.
(1)根据频率分布直方图及题设数据完成下列2×2列联表.
心率小于60次/分 | 心率不小于60次/分 | 合计 | |
体育生 | 20 | ||
艺术生 | 30 | ||
合计50 |
(2)根据(1)中表格数据计算可知,________(填“有”或“没有”)99.5%的把握认为“心率小于60次/分与常年进行系统的身体锻炼有关”.
P(K2≥k0) | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |