Question

【题目】正方体的棱长为2，动点在对角线上，过点作垂直于的平面，记平面截正方体得到的截面多边形（含三角形）的周长为，设.

（1）下列说法中，正确的编号为__________.

①截面多边形可能为四边形；②；③函数的图象关于对称.

（2）当时，三棱锥的外接球的表面积为__________.

Answer 1

【答案】②③ 9π

【解析】

（1）先找到两个与垂直的平面作为辅助平面，从而确定这两个平面之间的截面为六边形，从而判断①错误；由正方体的对称性判断③；由等体积法判断②；

(2)找出该三棱锥外接球的半径，由球的表面积公式计算即可.

（1）连接，以点D为坐标原点，分别以为轴建立如下图所示的空间直角坐标系

，

所以，面，

即面

同理可证：面

所以面面，如下图所示，夹在面和面之间并且与这两个平面平行的截面为六边形

故截面只能为三角形和六边形，故①错误；

由正方体的对称性，可得函数的图像关于对称，故③正确；

取的中点分别为，连接，如下图所示，即此时

对应的周长为 ，即，故②正确；

（2）当时，此时点P在线段的中点，连接交于点H

则，，则

所以 ，同理可证：

面，，所以面

取PH的中点为O， ，则三棱锥的外接球的球心为O，半径为，则三棱锥的外接球的表面积为

故答案为：(1)②③；(2)