Question

【题目】已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若有两个极值点，且恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）

【解析】

（1）对函数求导，分，和三种情况，讨论导函数的正负，进而可得到函数的单调性；

（2）由（1）知时，有两个极值点，可得，，整理可得，不等式可化为，结合可得到，令上述不等式等价于当时恒成立，构造函数，求导并讨论单调性，使其最小值大于0即可求出答案.

（1）函数的定义域为，

，

①若，则，显然，所以在单调递减；

②若，由得，此时，

由得；

由得.

即在区间单调递增，在区间和单调递减；

③若，，

则在区间单调递增，在区间单调递减.

（2）由（1）知时，有两个极值点，，是方程的两个根，，，

∴

，

所以原不等式等价于，

又，∴，

即，

令，上述不等式可化为，当时，恒成立.

设，则，

令，则，

当时，，即在上单调递增，

所以时，.

①当即时，，即在上单调递增，符合题意；

②当时，因为在上单调递增，记，

则时，时，

即时单调递减，所以存在，使，不合题意，

综上所述：.