题目内容

5.已知函数f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{0,x=0}\\{\frac{lnx}{x},x>0}\end{array}\right.$,g(x)=|sin$\frac{π}{2}$x|,则f(x)与g(x)的图象在区间[0,6]上的交点个数为(  )
A.5B.6C.7D.8

分析 作出两个函数的图象,利用导数求出函数f(x)的单调性和最值,利用数形结合即可得到结论.

解答 解:当x>0时,f(x)=$\frac{lnx}{x}$,
则函数的导数f′(x)=$\frac{1-lnx}{x}$,
由f′(x)>0得1-lnx>0,解得0<x<e,此时函数递增,
由f′(x)<0得1-lnx<0,解得x>e,此时函数递减,
故当x=e时,函数取得极大值同时也是最大值f(e)=$\frac{lne}{e}$=$\frac{1}{e}$,
作出f(x)与g(x)的图象在区间[0,6]上的图象如图:
则f(x)与g(x)的图象在区间[0,6]上的交点个数为6个,
故选:B.

点评 本题主要考查函数交点个数的判断以及利用导数研究函数的单调性,利用数形结合是解决本题的关键.

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