Question

【题目】当x∈[－2,1]时，不等式ax3－x2＋4x＋3≥0恒成立，则实数a的取值范围是______.

Answer 1

【答案】

【解析】　ax3≥x2－4x－3恒成立．当x＝0时式子恒成立．∴a∈R，

当x>0时，a≥恒成立．令 ＝t，x∈(0,1]，∴t≥1.

∴a≥t－4t2－3t3恒成立．令g(t)＝t－4t2－3t3，g′(t)＝1－8t－9t2＝(t＋1)(－9t＋1)，

∴函数g′(t)在[1，＋∞)上为减函数而且g′(1)＝－16<0，

∴g′(t)<0在[1，＋∞)上恒成立．∴g(t)在[1，＋∞)上是减函数，

∴g(t)max＝g(1)＝－6，∴a≥－6；

当x<0时，a≤恒成立，∵x∈[－2,0)，∴t≤－ ，

令g′(t)＝0得，t＝－1，∴g(t)在(－∞，－1]上为减函数，在(－1，－ ]上为增函数，∴g(t)min＝g(－1)＝－2，∴a≤－2.综上知－6≤a≤－2.