题目内容
【题目】已知椭圆的焦距为2,离心率
为
.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)过点作圆
的切线,切点分别为
,直线
与
轴交于点
,过点
作直线
交椭圆
于
两点,点
关于
轴的对称点为
,求
面积的最大值.
【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ)
.
【解析】试题分析:(Ⅰ)由椭圆的焦点为,离心率
为
,求出
,由此能求出椭圆的标准方程;(Ⅱ)由题意,得
、
、
、
四点共圆,该圆的方程为
,得
的方程为
,直线
的方程为
,设
,则
,从而
最大,
就最大,可设直线
的方程为
,由
,得
,由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式,能求出
的面积的最大值.
试题解析:(Ⅰ)由题意, ,解得
,由
,解得
;
所以椭圆的标准方程为.
(Ⅱ)由题意,得四点共圆,该圆的方程为
,
又圆的方程为
,故直线
的方程为
,
令,得
,即点
的坐标为
,则点
关于
轴的对称点为
.
设,则
,因此
最大,
就最大,
由题意直线的斜率不为零,可设直线
的方程为
,
由得
,
所以,
又直线与椭圆
交于不同的两点,则
,即
,
,
令,则
,
令,则函数
在
上单调递增,
即当时,
在
上单调递增,因此有
;
所以,当
时取等号.
故面积的最大值为3.
【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆的方程、韦达定理和三角形面积公式及单调性求最值,属于难题. 解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法:一是几何意义,特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决,非常巧妙;二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题,然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、以及均值不等式法,本题(2)就是用的这种思路,利用函数单调法面积的最大值的.
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【题目】为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助,用简单随机抽样从该地区调查了500位老年人,结果如下:
性别 是否需要志愿者 | 男 | 女 |
需要 | 40 | 30 |
不需要 | 160 | 270 |
(Ⅰ)估计该地区老年人中,需要志愿者提供帮助的老年人比例;
(Ⅱ)能否有的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关?
(Ⅲ)根据(Ⅱ)中的结论,能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人中需要志愿帮助?
附:
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
【题目】为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助,用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人,结果如下:
性别 | 男 | 女 |
需要 | 40 | 30 |
不需要 | 160 | 270 |
(1)估计该地区老年人中,需要志愿者提供帮助的老年人的比例;
(2)请根据上面的数据分析该地区的老年人需要志愿者提供帮助与性别有关吗