Question

【题目】已知每一项都是正数的数列满足， ．

（1）用数学归纳法证明： ；

（2）证明： ；

（3）记为数列的前项和，证明： ．

Answer 1

【答案】（1）见解析;（2）见解析;（3）见解析.

【解析】试题分析：（1）由于是隔项，所以先由求出与之间关系，并在利用归纳假设时，注意对称性，两个式子同时运用： ，（2）奇数项隔项递减，且最大值为，所以研究偶数项单调性：隔项递增，且最小值为，（同（1）的方法给予证明），最后需证明，根据归纳可借助第三量，作差给予证明；（3）先探求数列递推关系： ，再利用等比数列求和公式得.

试题解析：（1）由题知， ，

①当时， ， ，

， 成立；

②假设时，结论成立，即，

因为

所以

即时也成立，

由①②可知对于，都有成立.

（2）由（1）知， ，

所以，

同理由数学归纳法可证，

.

猜测： ，下证这个结论.

因为，

所以与异号.注意到，知， ，

即.

所以有，

从而可知.

（3）

所以

所以