Question

（本小题满分14分）
有个首项都是1的等差数列，设第个数列的第项为，公差为，并且成等差数列．
（Ⅰ）证明（，是的多项式），并求的值
（Ⅱ）当时，将数列分组如下：
(每组数的个数构成等差数列)．
设前组中所有数之和为，求数列的前项和．
（Ⅲ）设是不超过20的正整数，当时，对于（Ⅱ）中的，求使得不等式
成立的所有的值．

Answer 1

解：（Ⅰ）由题意知.
，
同理，，，…，
．
又因为成等差数列，所以.
故，即是公差为的等差数列．
所以，．
令，则，此时． ………4分
（Ⅱ）当时，．
数列分组如下：．
按分组规律，第组中有个奇数，
所以第1组到第组共有个奇数．
注意到前个奇数的和为，
所以前个奇数的和为.
即前组中所有数之和为，所以．
因为，所以，从而 ．
所以 .
.
故

.
所以 ．         ………………………………9分
（Ⅲ）由（Ⅱ）得，.
故不等式就是．
考虑函数．
当时，都有，即．
而，
注意到当时，单调递增，故有.
因此当时，成立，即成立．
所以,满足条件的所有正整数．    …………………………14分

略