Question

6．已知函数f（x）=$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}-ax+3a}}$在区间[2，+∞）上是减函数，则a的取值范围是（-4，4]．

Answer 1

分析 f（x）为复合函数，并且可以找出是由哪些函数复合而成的，根据复合函数的单调性从而可得出函数s=x²-ax+3a在[2，+∞）上单调递增，且s＞0在[2，+∞）上恒成立，从而可以得到$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{2}≤2}\\{4-2a+3a＞0}\end{array}\right.$，解该不等式组即可得出a的取值范围．

解答 解：令$\sqrt{{x}^{2}-ax+3a}=t$，则函数f（x）是由y=$\frac{1}{t}$，和t=$\sqrt{{x}^{2}-ax+3a}$复合而成的复合函数；
$y=\frac{1}{t}$是减函数；
∴$t=\sqrt{{x}^{2}-ax+3a}$在[2，+∞）为增函数；
设s=x²-ax+3a，则$t=\sqrt{{x}^{2}-ax+3a}$是由t=$\sqrt{s}$和s=x²-ax+3a复合而成的复合函数；
$t=\sqrt{s}$为增函数；
∴s=x²-ax+3a在[2，+∞）上为增函数，设s=g（x），则g（2）＞0；
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{2}≤2}\\{4-2a+3a＞0}\end{array}\right.$；
∴-4＜a≤4；
∴a的取值范围为：（-4，4]．
故答案为：（-4，4]．

点评 考查复合函数的单调性，反比例函数及函数$y=\sqrt{x}$的单调性，对于复合函数要找出是由哪些函数复合而成，以及二次函数的单调性及单调性定义的运用．