题目内容
18.已知2x+y=1,且x>0,y>0,则$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$的最小值是3+2$\sqrt{2}$.分析 由题意可得$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$=($\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$)(2x+y)=3+$\frac{y}{x}$+$\frac{2x}{y}$,由基本不等式可得.
解答 解:∵2x+y=1,且x>0,y>0,
∴$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$=($\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$)(2x+y)
=3+$\frac{y}{x}$+$\frac{2x}{y}$≥3+2$\sqrt{\frac{y}{x}•\frac{2x}{y}}$=3+2$\sqrt{2}$
当且仅当$\frac{y}{x}$=$\frac{2x}{y}$时取等号,
结合2x+y=1可得x=$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$且y=$\sqrt{2}$-1,
故答案为:3+2$\sqrt{2}$
点评 本题考查基本不等式求最值,“1”的代换是解决问题的关键,属基础题.
练习册系列答案
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9.集合A={x|(x-a)2≤1},B={x|(x-b)2≥9},A∪B=B,则( )
A. | (a+b)2≥16 | B. | (a+b)2≤16 | C. | (a-b)2≥16 | D. | (a-b)2≤16 |
3.函数y=(2k-1)x+2在(-∞,+∞)是减函数,则( )
A. | k<-$\frac{1}{2}$ | B. | k>-$\frac{1}{2}$ | C. | k<$\frac{1}{2}$ | D. | k>$\frac{1}{2}$ |
7.下列四组函数中,表示同一函数的是( )
A. | y=x-1与y=$\sqrt{(x-1)^{2}}$ | B. | y=$\sqrt{x-1}$与y=$\frac{x-1}{\sqrt{x-1}}$ | ||
C. | y=$\sqrt{x-1}$•$\sqrt{x+1}$与y=$\sqrt{(x+1)(x-1)}$ | D. | y=$\frac{x}{x}$与y=x0 |
8.下列各组函数表示同一函数的是( )
A. | f(x)=|x|,g(x)=$\left\{\begin{array}{l}{x(x≥0)}\\{-x(x<0)}\end{array}\right.$ | B. | f(x)=$\frac{{x}^{2}-4}{x-2}$,g(x)=x+2 | ||
C. | f(x)=$\sqrt{{x}^{2}}$,g(x)=x+2 | D. | f(x)=$\sqrt{1-{x}^{2}}$+$\sqrt{{x}^{2}-1}$,g(x)=0,x∈{-1,1}. |