题目内容
【题目】已知函数.
(1)当时,求在区间上的最值;
(2)讨论函数的单调性;
(3)当时,有恒成立,求的取值范围.
【答案】(1), .
(2)当时, 在单调递增;当时, 在单调递增,在上单调递减;当时, 在上单调递减.(3)
【解析】试题分析:(1)先求导数,再求导函数零点,列表分析导数在区间上符号变化规律,确定函数最值(2)先求导数,根据导函数符号是否变化进行分类讨论: 时, , 时, , 时,先负后正,最后根据导数符号对应确定单调性(3)将不等式恒成立转化为对应函数最值,由(2)得,即,整理化简得,解得的取值范围.
试题解析:解:(Ⅰ)当时, ,∴.
∵的定义域为,∴由得.
∴在区间上的最值只可能在, , 取到,而, , ,
∴,
(Ⅱ), .
①当,即时, ,∴在上单调递减;
②当时, ,∴在上单调递增;
③当时,由得,∴或(舍去)
∴在单调递增,在上单调递减;
综上,当, 在上单调递增;
当时, 在单调递增,在上单调递减;当时, 在上单调递减;
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当时,
即原不等式等价于即整理得
∴,又∵,∴的取值范围为.
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