题目内容

【题目】已知函数.

(1)当时,求在区间上的最值;

(2)讨论函数的单调性;

(3)当时,有恒成立,求的取值范围.

【答案】(1)

(2)当时, 单调递增;当时, 单调递增,在上单调递减;当时, 上单调递减.(3)

【解析】试题分析:(1)先求导数,再求导函数零点,列表分析导数在区间上符号变化规律,确定函数最值(2)先求导数,根据导函数符号是否变化进行分类讨论: 时, 时, 时,先负后正,最后根据导数符号对应确定单调性(3)将不等式恒成立转化为对应函数最值,由(2)得,即,整理化简得,解得的取值范围.

试题解析:解:(Ⅰ)当时, ,∴.

的定义域为,∴由.

在区间上的最值只可能在 取到,而

(Ⅱ) .

①当,即时, ,∴上单调递减;

②当时, ,∴上单调递增;

③当时,由,∴(舍去)

单调递增,在上单调递减;

综上,当 上单调递增;

时, 单调递增,在上单调递减;当时, 上单调递减;

(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当时,

即原不等式等价于整理得

,又∵,∴的取值范围为.

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