题目内容

【题目】已知椭圆两焦点 ,并且经过点
(1)求椭圆的方程;
(2)若过点A(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点M、N(M在A、N之间),试求△OAM与△OAN面积之比的取值范围.

【答案】
(1)解:因为椭圆的焦点在x上,

所以设椭圆方程为 (a>b>0),

由定义得 +,

∴a=2,b2=4﹣3=1,所以椭圆方程为


(2)解:由题意知直线l的斜率存在且不为零,设l方程为y=kx+2(k≠0),

设M(x1,y1),N(x2,y2),

整理得(1+4k2)x2+16kx+12=0,

由△=256k2﹣48(1+4k2)>0,得

∵x1x2>0,∴x1,x2同号,∴ ∴x1=λx2

,解得

∵0<λ<1∴

所以△OAM与△OAN面积之比的取值范围是


【解析】(1)设椭圆方程为 (a>b>0),运用椭圆的定义,可得a=2,结合a,b,c的关系,求得b,进而得到椭圆方程;(2)设l方程为y=kx+2(k≠0),M(x1 , y1),N(x2 , y2),代入椭圆方程,运用判别式大于0和韦达定理,令 ,代入化简整理,运用不等式的性质,即可得到所求范围.

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