题目内容
【题目】已知函数.
(1)求时,求
的单调区间;
(2)讨论在定义域上的零点个数.
【答案】(1)增区间是,单调递减区间是
.(2)当
时,函数没有零点,当
或
时函数有1个零点;当
时函数有2个零点.
【解析】试题分析:(1)将代入,求出函数的导数,
,得
单调递增区间是
,由
,单调递减区间是
;(2)通过讨论
的范围,分别利用导数研究函数函数的单调性,求出函数的极值,从而得到
的范围.
试题解析:(1) 在定义域是
,
.
当时,
.
当时,
,当
时,由
,
所以单调递增区间是
,单调递减区间是
.
(2)∵.
(i)当时,
,
在区间
上单调递减,
当时,
,当
时,
,
所以在区间
上只有一个零点.
(ii)当时,
恒成立,
所以在区间
上没有零点.
(iii)当时,当
时,
,
在区间
上单调递增;
当时,
,
在区间
上单调递减,
所以当时,
取极大值
.
①当时,极大值
,
在区间
上有1个零点.
②当时,极大值
,
在区间
上没有零点.
③当时,极大值
,
当时,
,当
时,
,
所以在区间
上有2个零点,
综上所述,当时,函数没有零点,当
或
时函数有1个零点;当
时函数有2个零点.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】为调查高中生的数学成绩与学生自主学习时间之间的相关关系.某重点高中数学教师对高三年级的50名学生进行了跟踪调查,其中每周自主做数学题的时间不少于15小时的有22人,余下的人中,在高三年级模拟考试中数学平均成绩不足120分钟的占,统计成绩后,得到如下
的列联表:
分数大于等于120分钟 | 分数不足120分 | 合计 | |
周做题时间不少于15小时 | 4 | 22 | |
周做题时间不足15小时 | |||
合计 | 50 |
(Ⅰ)请完成上面的列联表,并判断能否有99%以上的把握认为“高中生的数学成绩与学生自主学习时间有关”;
(Ⅱ)(ⅰ)按照分层抽样,在上述样本中,从分数大于等于120分和分数不足120分的两组学生中抽取9名学生,设抽到的不足120分且周做题时间不足15小时的人数是,求
的分布列(概率用组合数算式表示);
(ii) 若将频率视为概率,从全校大于等于120分的学生中随机抽取人,求这些人中周做题时间不少于15小时的人数的期望和方差.
附:
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |