Question

7．在△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C所对的边，关于实数x的不等式x²+2xsinC+$\frac{1}{2}$cosC+$\frac{1}{2}$≥0的解集为R．
（Ⅰ）求角C的最大值；
（Ⅱ）若c=8，△ABC的面积S=3$\sqrt{3}$，求角C取最大值时a+b的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可知：$△=（2sinC）^{2}-4×（\frac{1}{2}cosC+\frac{1}{2}）≤0$，解得：cosC$≥\frac{1}{2}$或cosC≤-1，由C∈（0，π），可求cosC∈（-1，1），可得cosC$≥\frac{1}{2}$，即可求得角C的最大值．
（Ⅱ）由面积公式知$\frac{1}{2}absinC=\frac{\sqrt{3}}{4}ab=3\sqrt{3}$，解得ab=12，结合余弦定理解得a+b的值．

解答 （本小题满分为12分）
解：（Ⅰ）由题意可知：$△=（2sinC）^{2}-4×（\frac{1}{2}cosC+\frac{1}{2}）≤0$，
整理可得：2cos²C+cosC-1≥0，
解得：cosC$≥\frac{1}{2}$或cosC≤-1，
又角C为一个三角形的内角，于是C∈（0，π），cosC∈（-1，1），
因此cosC$≥\frac{1}{2}$，故角C的最大值为$\frac{π}{3}$…6分
（Ⅱ）由面积公式知：S=$\frac{1}{2}absinC=\frac{\sqrt{3}}{4}ab=3\sqrt{3}$，
∴ab=12，
又由余弦定理知：c²=a²+b²-2abcosC=a²+b²-ab=（a+b）²-3ab=64．
解得：a+b=10，故a+b的值为10…12分

点评 本题主要考查了一元二次方程的解法，正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的综合应用，属于基本知识的考查．