Question

19．在△ABC中，设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量$\overrightarrow{m}$=（cosA，sinA），向量$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{2}$-sinA，cosA），若|$\overrightarrow{m}$+$\overrightarrow{n}$|=2．
（1）求内角A的大小；
（2）若b=4$\sqrt{2}$，且c=$\sqrt{2}$a，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）先求出向量$\overrightarrow{m}+\overrightarrow{n}$的坐标，根据$|\overrightarrow{m}+\overrightarrow{n}|=2$便可得到$\sqrt{4+2\sqrt{2}（cosA-sinA）}=2$，从而可得到cosA=sinA，A是三角形的内角，从而便可得出A的大小为$\frac{π}{4}$；
（2）由余弦定理可建立一个关于a的方程为：${a}^{2}-8\sqrt{2}a+32=0$，这样解出a，从而确定了△ABC的边长，再根据三角形的面积公式即可得出△ABC的面积．

解答 解：（1）$\overrightarrow{m}+\overrightarrow{n}=（\sqrt{2}+cosA-sinA，sinA+cosA）$；
∴$|\overrightarrow{m}+\overrightarrow{n}|=\sqrt{（\sqrt{2}+cosA-sinA）^{2}+（sinA+cosA）^{2}}$=$\sqrt{4+2\sqrt{2}（cosA-sinA）}=2$；
∴$4+2\sqrt{2}（cosA-sinA）=4$；
∴cosA-sinA=0；
∴cosA=sinA；
∵0＜A＜π；
∴$A=\frac{π}{4}$；
（2）由条件及余弦定理得：
${a}^{2}=（4\sqrt{2}）^{2}+（\sqrt{2}a）^{2}-2•4\sqrt{2}•\sqrt{2}a•cos\frac{π}{4}$；
整理得：${a}^{2}-8\sqrt{2}a+32=0$；
解得$a=4\sqrt{2}$；
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}•4\sqrt{2}•8•sin\frac{π}{4}=16$．

点评 考查向量坐标的加法运算，根据向量的坐标求向量的长度，cos²A+sin²A=1，以及余弦定理，三角形的面积公式：S=$\frac{1}{2}absinC$．