Question

15．已知函数f（x）=sin（ωx+$\frac{π}{3}$）（ω＞0）的最小正周期为4π．
（1）若函数y=f（x+θ）（0＜θ＜2π）为偶函数，求θ的值；
（2）若f（α）=$\frac{4}{5}$，0＜α＜π，求sin（α-$\frac{π}{3}$）的值．

Answer 1

分析 （1）由条件利用正弦函数的周期性求得ω的值，再利用正弦函数的奇偶性，求得θ的值．
（2）由条件利用同角三角函数的基本关系求得cos（$\frac{1}{2}$α+$\frac{π}{3}$）的值，再利用二倍角公式求得sin（α+$\frac{2π}{3}$）的值，利用诱导公式求得sin（α-$\frac{π}{3}$）=sin[（α+$\frac{2π}{3}$）-π]的值．

解答 解：（1）∵函数f（x）=sin（ωx+$\frac{π}{3}$）（ω＞0）的最小正周期为$\frac{2π}{ω}$=4π，
∴ω=$\frac{1}{2}$，f（x）=sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{3}$）．
根据函数y=f（x+θ）=sin[$\frac{1}{2}$（x+θ）+$\frac{π}{3}$]=sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{θ}{2}$+$\frac{π}{3}$）（0＜θ＜2π）为偶函数，
可得$\frac{θ}{2}$+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，即 θ=2kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z，∴θ=$\frac{π}{3}$．
（2）∵f（α）=sin（$\frac{1}{2}$α+$\frac{π}{3}$）=$\frac{4}{5}$，0＜α＜π，∴$\frac{1}{2}$α+$\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$），
∵$\frac{4}{5}$∈[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]，∴$\frac{1}{2}$α+$\frac{π}{3}$∈（$\frac{2π}{3}$，$\frac{3π}{4}$），∴cos（$\frac{1}{2}$α+$\frac{π}{3}$）=-$\sqrt{{1-sin}^{2}（\frac{α}{2}+\frac{π}{3}）}$=-$\frac{3}{5}$，
∴sin（α+$\frac{2π}{3}$）=2sin（$\frac{1}{2}$α+$\frac{π}{3}$）cos（$\frac{1}{2}$α+$\frac{π}{3}$）=-$\frac{24}{25}$，
sin（α-$\frac{π}{3}$）=sin[（α+$\frac{2π}{3}$）-π]=-sin（α+$\frac{2π}{3}$）=$\frac{24}{25}$．

点评 本题主要考查正弦函数的周期性和奇偶性，同角三角函数的基本关系、诱导公式、二倍角公式的应用，属于中档题．