题目内容
已知直线过定点,动点满足,动点的轨迹为.
(Ⅰ)求的方程;
(Ⅱ)直线与交于两点,以为切点分别作的切线,两切线交于点.
①求证:;②若直线与交于两点,求四边形面积的最大值.
(Ⅰ)求的方程;
(Ⅱ)直线与交于两点,以为切点分别作的切线,两切线交于点.
①求证:;②若直线与交于两点,求四边形面积的最大值.
(1) (2) 根据直线斜率互为负倒数来得到证明,当且仅当时,四边形面积的取到最小值。
试题分析:(I)由题意知,设
化简得 3分
(Ⅱ)①设,,
由消去,得,显然.
所以,
由,得,所以,
所以,以为切点的切线的斜率为,
所以,以为切点的切线方程为,又,
所以,以为切点的切线方程为……(1)
同理,以为切点的切线方程为……(2)
(2)-(1)并据得点的横坐标,
代入(1)易得点的纵坐标,所以点的坐标为
当时,显然
当时,,从而 8分
②由已知,显然直线的斜率不为0,由①知,所以,
则直线的方程为,
设设,,
由消去,得,显然,
所以,.
又
因为,所以,
所以,,
当且仅当时,四边形面积的取到最小值 13分
点评:解决的关键是借助于向量的模来表示得到轨迹方程,并联立方程组来得到弦长公式,进而得到面积的表示,属于中档题。
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