题目内容
7.若对区间D上的任意x都有f1(x)≤f(x)≤f2(x)成立,则称f(x)为f1(x)到f2(x)在区间D上的“任性函数”,已知 f1(x)=lnx+x2,f2(x)=$\frac{1}{x}$+3x,若f(x)=x+a是f1(x)到f2(x)在[$\frac{1}{2}$,1]上的“任性函数”,则a的取值范围是0$≤a≤2\sqrt{2}$.分析 仔细阅读题意得出lnx+x2≤x+a≤$\frac{1}{x}$+3x,分离参数得出不等式x2-x+lnx≤a≤2x$+\frac{1}{x}$,x∈[$\frac{1}{2}$,1],
构造函数g(x)=x2-x+lnx,m(x)=2x$+\frac{1}{x}$,g(x)大值≤a≤m(x)小值,利用不等式,函数的单调性求解即可.
解答 解:根据题意得出:∵任意x都有f1(x)≤f(x)≤f2(x)成立,
∴lnx+x2≤x+a≤$\frac{1}{x}$+3x,
即x2-x+lnx≤a≤2x$+\frac{1}{x}$,x∈[$\frac{1}{2}$,1]
g(x)大值≤a≤m(x)小值
设g(x)=x2-x+lnx可以判断在x∈[$\frac{1}{2}$,1]单调递增,
g(x)大=1-1+ln1=0,
令m(x)=2x$+\frac{1}{x}$,x∈[$\frac{1}{2}$,1]
2x$+\frac{1}{x}$≥2$\sqrt{2}$(x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时,等号成立)
∴m(x)小值=2$\sqrt{2}$,
故a的取值范围是0$≤a≤2\sqrt{2}$
故答案为;0$≤a≤2\sqrt{2}$
点评 本题考查了新概念题目,转化出不等式恒成立问题,构造函数,转化为函数最值问题求解,属于函数思想的运用,属于中档题.
练习册系列答案
相关题目
2.已知f(x+1)=x-1+ex+1,则函数f(x)在点(0,f(0))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为( )
A. | $\frac{1}{4}$ | B. | $\frac{1}{2}$ | C. | 1 | D. | 2 |
19.直线y=x-2与圆x2+y2-4x+3=0交于A、B两点,与抛物线y2=8x交于C、D两点,则|AB|+|CD|=( )
A. | 16 | B. | 14 | C. | 18 | D. | $14\sqrt{2}$ |