题目内容

15.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,∠ADC=90°,平面PAD⊥底面ABCD,E为AD的中点,PA=PD=4,BC=$\frac{1}{2}$AD=2,CD=2$\sqrt{3}$.
(Ⅰ)求证:PA⊥CD;
(Ⅱ) 若M是棱PC的中点,求直线PB与平面BEM所成角的正弦值;
(Ⅲ)在棱PC上是否存在点N,使二面角N-EB-C的余弦值为$\frac{\sqrt{13}}{13}$,若存在,确定点N的位置;若不存在,请说明理由.

分析 (Ⅰ)证明PE⊥面ABCD,利用PA在面ABCD内的射影是CD,CD⊥AD,即可证明:PA⊥CD;
(Ⅱ)建立空间直角坐标系,求出$\overrightarrow{PB}$,平面BEM的一个法向量,利用向量的夹角公式求直线PB与平面BEM所成角的正弦值;
(Ⅲ)设$\overrightarrow{PN}$=λ$\overrightarrow{PC}$(0≤λ≤1),求出平面NEB的一个法向量,利用向量的夹角公式,结合二面角N-EB-C的余弦值为$\frac{\sqrt{13}}{13}$,即可得出结论.

解答 解:(Ⅰ)∵等腰△PAD中,E为AD的中点,∴PE⊥AD.
∵平面PAD⊥底面ABCD,平面PAD∩底面ABCD=AD,
∴PE⊥面ABCD,
又PA在面ABCD内的射影是CD,CD⊥AD,
由三垂线定理知:CD⊥PA;…(4分)
(Ⅱ)以E为原点,分别以$\overrightarrow{EA}$,$\overrightarrow{EB}$,$\overrightarrow{EP}$的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,
由PE=4cos30°=2$\sqrt{3}$得P(0,0,2$\sqrt{3}$)
又∵C(-2,2$\sqrt{3}$,0),
∴M(-1,$\sqrt{3}$,$\sqrt{3}$),
∴$\overrightarrow{EM}$=(-1,$\sqrt{3}$,$\sqrt{3}$),
又$\overrightarrow{EB}$=(0,2$\sqrt{3}$,0)
设平面BEM的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=(x,y,z),
则$\left\{\begin{array}{l}{2\sqrt{3}y=0}\\{-x+\sqrt{3}y+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$,
令z=1则x=$\sqrt{3}$,y=0,
∴$\overrightarrow{n}$=($\sqrt{3}$,0,1),
又∵$\overrightarrow{PB}$=(0,2$\sqrt{3}$,-2$\sqrt{3}$),
设直线PB与平面BEM所成角为θ,
则sinθ=$\frac{|-2\sqrt{3}|}{2×\sqrt{24}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$; …(8分)
(3)假设在棱PC上存在点N,使二面角N-EB-C的余弦值为$\frac{\sqrt{13}}{13}$,
设$\overrightarrow{PN}$=λ$\overrightarrow{PC}$(0≤λ≤1),则$\overrightarrow{EN}$=(-2λ,2$\sqrt{3}$λ,2$\sqrt{3}$(1-λ)),
又$\overrightarrow{EB}$=(0,2$\sqrt{3}$,0),设平面NEB的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=(a,b,c),
则$\left\{\begin{array}{l}{2\sqrt{3}b=0}\\{-2λa+2\sqrt{3}λb+2\sqrt{3}(1-λ)c=0}\end{array}\right.$,
令c=λ,a=$\sqrt{3}$(1-λ),
∴$\overrightarrow{m}$=($\sqrt{3}$(1-λ),0,λ),
又$\overrightarrow{m′}$=(0,0,1)为平面EBC的一个法向量,
则cos<$\overrightarrow{m}$,$\overrightarrow{m′}$>=$\frac{|λ|}{\sqrt{3(1-λ)^{2}+{λ}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{13}}{13}$,解得λ=$\frac{1}{3}$(负值舍),
故存在点N为棱PC的靠近P的三分点符合条件.…(12分)

点评 本题主要考查线面垂直的判定,以及二面角的求解,建立空间坐标系,利用向量法是解决二面角的常用方法.考查学生的运算和推理能力.

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