Question

【题目】已知函数 ， 是函数的极值点.

（1）若，求函数的最小值；

（2）若不是单调函数，且无最小值，证明： .

Answer 1

【答案】（1）的最小值为；（2）见解析.

【解析】试题分析：（1）在区间 单调递减，在上单调递增，所以的最小值为；（2），方程（），不是单调函数，且无最小值，则方程必有个不相等的正根， 是极大值点， 是极小值点， ，只需证明。

试题解析：

（1）解： ，其定义域是 .

.

令 ，得

所以， 在区间 单调递减，在上单调递增.

所以的最小值为.

（2）解：函数的定义域是

对求导数，得

显然，方程（ ）

设不是单调函数，且无最小值，则方程必有个不相等的正根，所以解得

设方程的个不相等的正根是， ，其中

所以

列表分析如下：

所以， 是极大值点， 是极小值点，

故只需证明，由，且得

因为， ，所以

从而